解答: 解:过O作OF⊥CD,交CD于点F,可得DF=CF,连接OD,
∵AE=7,BE=1,
∴OB=OD= AB= ×8=4,OE=OB﹣EB=3,
在Rt△OEF中,OE=3,cos∠AED= ,
∴EF=OEcos∠AED=2,根据勾股定理得:OF= = ,
在Rt△ODF中,根据勾股定理得:DF= = ,
则CD=2DF=2 .
故答案为:2 .
点评: 此题考查了垂径定理,勾股定理,以及解直角三角形,熟练掌握垂径定理是解本题的关键.
17.(3分)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,点E在BC上,AE=BE,点F是CD的中点,且AF⊥AB,若AD=2.7,AF=4,AB=6,则CE的长为 2.3 .
考点: 梯形;等腰三角形的性质;勾股定理;三角形中位线定理..
专题: 计算题.
分析: 延长AF至BC延长线上交于G点,由已知可证明∠AGB=∠EAG,则EF为△ABG的中位线,得出EF=3,还可证明FG=4,由勾股定理得EG=5,则求得CE的长为2.3.
解答: 解:延长AF至BC延长线上交于G点,
∵AE=BE,
∴∠ABE=∠BAE,
∵AF⊥AB,
∴∠ABE+∠AGB=90°,∠BAE+∠EAG=90°,
∴∠AGB=∠EAG,
∴∠ABE=∠AGE,
∴AE=EG,
∴GE=BE,
∴E为BG中点,
∴EF是△ABG的中位线,
故可得:EF= AB=3,FG=AF=4,
∴AG=8,
∴BG=10,
∴EG=5,
∵AF⊥AB,AE=BE,
∴点E是BG的中点,
∴EG=BE=5,
∴可得△EFG为直角三角形,
∴CE=EG﹣CG=EG﹣AD=5﹣2.7=2.3.
故答案为:2.3.
点评: 本题考查了三角形的中位线定理、等腰三角形的性质和勾股定理,是一道综合题,难度较大.
18.(3分)如图,在边长相同的小正方形组成的网格中,点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上,AB、CD相交于点P,则sin∠APD的值是 .
考点: 相似三角形的判定与性质;勾股定理;锐角三角函数的定义..
专题: 网格型.
分析: 首先连接BE,AE,过点A作AF⊥BE于点F,由勾股定理即可得AB=AE= ,BE= ,则可求得AF的长,继而可求得答案.
解答: 解:如图,连接BE,AE,过点A作AF⊥BE于点F,
∵由题意得:AB= = ,AE= = ,BE= = ,
∴AE=AB,
∴BF= BE= ,
∴在Rt△ABF中,AF= = ,
∴sin∠ABF= = = ,
∵CD∥BE,
∴∠APD=∠ABE,
∴sin∠APD= .
故答案为: .
点评: 此题考查了三角函数的定义、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.
三、解答题
19.(8分)计算: .
考点: 特殊角的三角函数值;实数的性质;零指数幂;负整数指数幂;二次根式的性质与化简..
专题: 计算题.
分析: 按照实数的运算法则依次计算,注意(π﹣3.14)0=1,(﹣ )﹣1=﹣2.
解答: 解:原式=1+(﹣2)+ ﹣4×
=1﹣2+3﹣ ﹣
=2﹣ .
点评: 本题考查的知识点是:任何不等于0的数的0次幂是1,a﹣p= .
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20.(8分)先化简,再求值:( ) ,其中a满足a2+a﹣1=0.
考点: 分式的化简求值..
专题: 计算题.
分析: 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,除数分母利用平方差公式分解因式,再利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算,约分得到最简结果,由已知方程求出a的值,代入计算即可求出值.
解答: 解:∵a2+a﹣1=0,即a2=﹣(a﹣1),
∴原式= ÷
= •
=
=
=﹣1.
点评: 此题考查了分式的化简求值,分式的加减运算关键是通分,通分的关键是找最简公分母;分式的乘除运算关键是约分,约分的关键是找公因式.
21.(8分)关于x的一元二次方程x2﹣x+p﹣1=0有两个实数根x1、x2.
(1)求p的取值范围;
(2)若 ,求p的值.
考点: 根的判别式;根与系数的关系..
专题: 计算题.
分析: (1)根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac的意义得到△≥0,即12﹣4×1×(p﹣1)≥0,解不等式即可得到p的取值范围;
(2)根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解的定义得到x12﹣x1+p﹣1=0,x22﹣x2+p﹣1=0,则有x12﹣x1=﹣p+1=0,x22﹣x2=﹣p+1,然后把它们整体代入所给等式中得到(﹣p+1﹣2)(﹣p+1﹣2)=9,解方程求出p,然后满足(1)中的取值范围的p值即为所求.
解答: 解:(1)∵方程x2﹣x+p﹣1=0有两个实数根x1、x2,
∴△≥0,即12﹣4×1×(p﹣1)≥0,解得p≤ ,
∴p的取值范围为p≤ ;
(2)∵方程x2﹣x+p﹣1=0有两个实数根x1、x2,
∴x12﹣x1+p﹣1=0,x22﹣x2+p﹣1=0,
∴x12﹣x1=﹣p+1=0,x22﹣x2=﹣p+1,
∴(﹣p+1﹣2)(﹣p+1﹣2)=9,
∴(p+1)2=9,
∴p1=2,p2=﹣4,
∵p≤ ,
∴p=﹣4.
点评: 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac:当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.也考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解的定义.
22.(8分)如图,AB、CD是⊙O的弦,∠A=∠C.求证:AB=CD.
考点: 圆心角、弧、弦的关系..
专题: 证明题.
分析: 连接BO,OD,利用等腰三角形性质证圆心角相等,即可得出AB=CD.
解答: 解:连接BO,OD,
∵OA=OB,
∴∠A=∠B,
∵OC=OD,
∴∠C=∠D,
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