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九年级上册数学期中试题及答案解析

[10-20 00:37:18]   来源：http://www.kmf8.com  中考数学模拟题   阅读：8783次
概要： 27.(12分)(2011•盘锦)已知菱形ABCD的边长为5，∠DAB=60°.将菱形ABCD绕着A逆时针旋转得到菱形AEFG，设∠EAB=α，且0°<α<90°，连接DG、BE、CE、CF.(1)如图(1)，求证：△AGD≌△AEB;(2)当α=60°时，在图(2)中画出图形并求出线段CF的长;(3)若∠CEF=90°，在图(3)中画出图形并求出△CEF的面积.考点： 菱形的性质;三角形的面积;全等三角形的判定与性质;锐角三角函数的定义..专题： 综合题;压轴题.分析： (1)利用AD=AB，AG=AE，∠GAD=∠EAB(SAS)证明△AGD≌△AEB即可;(2)当α=60°时，AE与AD重合，作DH⊥CF于H.由已知可得∠CDF=120°，DF=DC=5，在Rt△CDH中，CH=DCsin60°，继而求出CF的长;(3)当∠CEF=90°时，延长CE交AG
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27.(12分)(2011•盘锦)已知菱形ABCD的边长为5，∠DAB=60°.将菱形ABCD绕着A逆时针旋转得到菱形AEFG，设∠EAB=α，且0°<α<90°，连接DG、BE、CE、CF.

(1)如图(1)，求证：△AGD≌△AEB;

(2)当α=60°时，在图(2)中画出图形并求出线段CF的长;

(3)若∠CEF=90°，在图(3)中画出图形并求出△CEF的面积.

考点： 菱形的性质;三角形的面积;全等三角形的判定与性质;锐角三角函数的定义..

专题： 综合题;压轴题.

分析： (1)利用AD=AB，AG=AE，∠GAD=∠EAB(SAS)证明△AGD≌△AEB即可;

(2)当α=60°时，AE与AD重合，作DH⊥CF于H.由已知可得∠CDF=120°，DF=DC=5，在Rt△CDH中，CH=DCsin60°，继而求出CF的长;

(3)当∠CEF=90°时，延长CE交AG于M，连接AC，∠CEF=90°，只需求出EC的长，又EC=MC﹣ME，在Rt△AME和Rt△AMC中求解MC和ME的长即可.

解答： 解：(1)∵菱形ABCD绕着点A逆时针旋转得到菱形AEFG，

∴AG=AD，AE=AB，∠GAD=∠EAB=α.

∵四边形AEFG是菱形，

∴AD=AB.

∴AG=AE.

∴△AGD≌△AEB.(3分)

(2)解法一：如图(1)，当α=60°时，AE与AD重合，(4分)

作DH⊥CF于H.由已知可得∠CDF=120°，DF=DC=5.

∴∠CDH= ∠CDF=60°，CH= CF.

在Rt△CDH中，

∵CH=DCsin60°=5× = ，(6分)

∴CF=2CH=5 .(7分)

解法二：如图(1)，当α=60°时，AE与AD重合，(4分)

连接AF、AC、BD、AC与BD交于点O.

由题意，知AF=AC，∠FAC=60°.

∴△AFC是等边三角形.

∴FC=AC.

由已知，∠DAO= ∠BAD=30°，AC⊥BD，

∴AO=ADcos30°= .(6分)

∴AC=2AO=5 .

∴FC=AC=5 .(7分)

(3)如图(2)，当∠CEF=90°时，(8分)

延长CE交AG于M，连接AC.

∵四边形AEFG是菱形，

∴EF∥AG.

∵∠CEF=90°，

∴∠GME=90°.

∴∠AME=90°.(9分)

在Rt△AME中，AE=5，∠MAE=60°，

∴AM=AEcos60°= ，EM=AEsin60°= .

在Rt△AMC中，易求AC=5 ，

∴MC= = .

∴EC=MC﹣ME= ﹣ ，

= ( ﹣ ).(11分)

∴S△CEF= •EC•EF= .(12分)

点评： 本题考查菱形的性质，同时涉及了锐角三角函数的定义、全等三角形的判定与性质及三角形面积公式，注意这些知识的熟练掌握并灵活运用，难度较大.

28.(12分)如图，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，如果点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2cm/s，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s，连接PQ，设运动的时间为t(单位：s)(0≤t≤5).解答下列问题：

(1)当t为何值时，△APQ是直角三角形?

(2)是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分?若存在求出此时t的值;若不存在，请说明理由;

(3)把△APQ沿AB(或沿AC)翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形能不能是菱形?若能，求出此时菱形的面积;若不能，请说明理由.

考点： 相似形综合题..

专题： 压轴题.

分析： (1)表示出AP、AQ，然后分∠AQP=90°和∠APQ=90°两种情况，利用∠A的余弦列式计算即可得解;

(2)先求出△ABC的面积，然后利用∠A的正弦求出点P到AQ的距离，再根据△APQ的面积公式列出方程，然后求出根的判别式△<0，确定不存在;

(3)根据菱形的对角相等，对角线平分一组对角可得关于AB翻折时，∠A=∠APQ，过点Q作QD⊥AB于D，根据等腰三角形三线合一的性质可得AD= AP，然后利用∠A的余弦列式求出t的值，再根据正弦求出DQ，然后根据S菱形=2S△APQ计算即可得解;关于AC翻折时，∠A=∠AQP，过点P作PE⊥AC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得AE= AQ，然后利用∠A的余弦列式求出t的值，再根据正弦求出PE，然后根据S菱形=2S△APQ计算即可得解.

解答： 解：(1)∵点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s，

∴AP=10﹣2t，AQ=t，

如图1，∠AQP=90°时，cos∠A= = ，

∴ = ，

解得t= ，

如图2，∠APQ=90°时，cos∠A= = ，

∴ = ，

解得t= ，

综上所述，t= 或 时，△APQ是直角三角形;

(2)△ABC的面积= AC•BC= ×8×6=24cm2，

假设存在t使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，

则点P到AQ的距离为：AP•sin∠A=(10﹣2t)× = (10﹣2t)，

∴△APQ的面积= t• (10﹣2t)= ×24，

整理得，t2﹣5t+20=0，

∵△=(﹣5)2﹣4×1×20=25﹣80=﹣55<0，

∴此方程无解，

∴不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分;

(3)根据菱形的性质，若关于AB翻折时，则∠A=∠APQ，

如图1，过点Q作QD⊥AB于D，则AD= AP= (10﹣2t)=5﹣t，

cos∠A= = ，

∴ = ，

解得t= ，

∴DQ=AQ•sin∠A= × = ，

AP=10﹣2t=10﹣2× = ，

∴S菱形=2S△APQ=2× × × = ;

若关于AC翻折时，则∠A=∠AQP，

如图2，过点P作PE⊥AC于E，则AE= AQ= ，

cos∠A= = ，

∴ = ，

解得t= ，

∴PE=AP•sin∠A=(10﹣2× )× = × = ，

∴S菱形=2S△APQ=2× × × = ;

综上所述，△APQ沿AB(或沿AC)翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形能是菱形，

菱形的面积为 或 .

点评： 本题是相似形综合题型，主要考查了锐角三角函数，三角形的面积，菱形的对角相等，对角线平分一组对角的性质，(1)(3)两题难点在于要分情况讨论求解，(2)利用根的判别式判断即可，综合题，但难度不大.

总结：九年级上册数学期中试题就为大家分享到这里了，希望对大家有所帮助，更多精彩内容请继续关注www.kmf8.com！

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