27.(12分)(2011•盘锦)已知菱形ABCD的边长为5,∠DAB=60°.将菱形ABCD绕着A逆时针旋转得到菱形AEFG,设∠EAB=α,且0°<α<90°,连接DG、BE、CE、CF.
(1)如图(1),求证:△AGD≌△AEB;
(2)当α=60°时,在图(2)中画出图形并求出线段CF的长;
(3)若∠CEF=90°,在图(3)中画出图形并求出△CEF的面积.
考点: 菱形的性质;三角形的面积;全等三角形的判定与性质;锐角三角函数的定义..
专题: 综合题;压轴题.
分析: (1)利用AD=AB,AG=AE,∠GAD=∠EAB(SAS)证明△AGD≌△AEB即可;
(2)当α=60°时,AE与AD重合,作DH⊥CF于H.由已知可得∠CDF=120°,DF=DC=5,在Rt△CDH中,CH=DCsin60°,继而求出CF的长;
(3)当∠CEF=90°时,延长CE交AG于M,连接AC,∠CEF=90°,只需求出EC的长,又EC=MC﹣ME,在Rt△AME和Rt△AMC中求解MC和ME的长即可.
解答: 解:(1)∵菱形ABCD绕着点A逆时针旋转得到菱形AEFG,
∴AG=AD,AE=AB,∠GAD=∠EAB=α.
∵四边形AEFG是菱形,
∴AD=AB.
∴AG=AE.
∴△AGD≌△AEB.(3分)
(2)解法一:如图(1),当α=60°时,AE与AD重合,(4分)
作DH⊥CF于H.由已知可得∠CDF=120°,DF=DC=5.
∴∠CDH= ∠CDF=60°,CH= CF.
在Rt△CDH中,
∵CH=DCsin60°=5× = ,(6分)
∴CF=2CH=5 .(7分)
解法二:如图(1),当α=60°时,AE与AD重合,(4分)
连接AF、AC、BD、AC与BD交于点O.
由题意,知AF=AC,∠FAC=60°.
∴△AFC是等边三角形.
∴FC=AC.
由已知,∠DAO= ∠BAD=30°,AC⊥BD,
∴AO=ADcos30°= .(6分)
∴AC=2AO=5 .
∴FC=AC=5 .(7分)
(3)如图(2),当∠CEF=90°时,(8分)
延长CE交AG于M,连接AC.
∵四边形AEFG是菱形,
∴EF∥AG.
∵∠CEF=90°,
∴∠GME=90°.
∴∠AME=90°.(9分)
在Rt△AME中,AE=5,∠MAE=60°,
∴AM=AEcos60°= ,EM=AEsin60°= .
在Rt△AMC中,易求AC=5 ,
∴MC= = .
∴EC=MC﹣ME= ﹣ ,
= ( ﹣ ).(11分)
∴S△CEF= •EC•EF= .(12分)
点评: 本题考查菱形的性质,同时涉及了锐角三角函数的定义、全等三角形的判定与性质及三角形面积公式,注意这些知识的熟练掌握并灵活运用,难度较大.
28.(12分)如图,已知△ABC中,AB=10cm,AC=8cm,BC=6cm,如果点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动,速度为2cm/s,同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动,速度为1cm/s,连接PQ,设运动的时间为t(单位:s)(0≤t≤5).解答下列问题:
(1)当t为何值时,△APQ是直角三角形?
(2)是否存在某时刻t,使线段PQ恰好把△ABC的面积平分?若存在求出此时t的值;若不存在,请说明理由;
(3)把△APQ沿AB(或沿AC)翻折,翻折前后的两个三角形所组成的四边形能不能是菱形?若能,求出此时菱形的面积;若不能,请说明理由.
考点: 相似形综合题..
专题: 压轴题.
分析: (1)表示出AP、AQ,然后分∠AQP=90°和∠APQ=90°两种情况,利用∠A的余弦列式计算即可得解;
(2)先求出△ABC的面积,然后利用∠A的正弦求出点P到AQ的距离,再根据△APQ的面积公式列出方程,然后求出根的判别式△<0,确定不存在;
(3)根据菱形的对角相等,对角线平分一组对角可得关于AB翻折时,∠A=∠APQ,过点Q作QD⊥AB于D,根据等腰三角形三线合一的性质可得AD= AP,然后利用∠A的余弦列式求出t的值,再根据正弦求出DQ,然后根据S菱形=2S△APQ计算即可得解;关于AC翻折时,∠A=∠AQP,过点P作PE⊥AC于E,根据等腰三角形三线合一的性质可得AE= AQ,然后利用∠A的余弦列式求出t的值,再根据正弦求出PE,然后根据S菱形=2S△APQ计算即可得解.
解答: 解:(1)∵点P的速度为2cm/s,点Q的速度为1cm/s,
∴AP=10﹣2t,AQ=t,
如图1,∠AQP=90°时,cos∠A= = ,
∴ = ,
解得t= ,
如图2,∠APQ=90°时,cos∠A= = ,
∴ = ,
解得t= ,
综上所述,t= 或 时,△APQ是直角三角形;
(2)△ABC的面积= AC•BC= ×8×6=24cm2,
假设存在t使线段PQ恰好把△ABC的面积平分,
则点P到AQ的距离为:AP•sin∠A=(10﹣2t)× = (10﹣2t),
∴△APQ的面积= t• (10﹣2t)= ×24,
整理得,t2﹣5t+20=0,
∵△=(﹣5)2﹣4×1×20=25﹣80=﹣55<0,
∴此方程无解,
∴不存在某时刻t,使线段PQ恰好把△ABC的面积平分;
(3)根据菱形的性质,若关于AB翻折时,则∠A=∠APQ,
如图1,过点Q作QD⊥AB于D,则AD= AP= (10﹣2t)=5﹣t,
cos∠A= = ,
∴ = ,
解得t= ,
∴DQ=AQ•sin∠A= × = ,
AP=10﹣2t=10﹣2× = ,
∴S菱形=2S△APQ=2× × × = ;
若关于AC翻折时,则∠A=∠AQP,
如图2,过点P作PE⊥AC于E,则AE= AQ= ,
cos∠A= = ,
∴ = ,
解得t= ,
∴PE=AP•sin∠A=(10﹣2× )× = × = ,
∴S菱形=2S△APQ=2× × × = ;
综上所述,△APQ沿AB(或沿AC)翻折,翻折前后的两个三角形所组成的四边形能是菱形,
菱形的面积为 或 .
点评: 本题是相似形综合题型,主要考查了锐角三角函数,三角形的面积,菱形的对角相等,对角线平分一组对角的性质,(1)(3)两题难点在于要分情况讨论求解,(2)利用根的判别式判断即可,综合题,但难度不大.
总结:九年级上册数学期中试题就为大家分享到这里了,希望对大家有所帮助,更多精彩内容请继续关注www.kmf8.com!
阅读本文的还阅读了:
- 九年级上册数学期中试题及答案解析
- › 人教版九年级上册语文寒假作业:基础和识记
- › 人教版九年级上册语文寒假作业:阅读和探究
- › 人教版九年级上册语文寒假作业:体验和作文
- › 人教版九年级上册语文寒假作业:参考答案
- › 九年级上册语文寒假作业试题—改正病句
- › 九年级上册语文寒假作业试题—选择题
- › 九年级上册语文寒假作业试题—填空题
- › 九年级上册语文寒假作业试题—修改病句及语段
- › 九年级上册语文寒假作业之基础知识积累与运用
- › 九年级上册语文寒假作业之现代文阅读
- › 2016年九年级上册语文练习题
- › 2016九年级上册语文第六单元练习题人教版
- 在百度中搜索相关文章:九年级上册数学期中试题及答案解析
- 在谷歌中搜索相关文章:九年级上册数学期中试题及答案解析
- 在soso中搜索相关文章:九年级上册数学期中试题及答案解析
- 在搜狗中搜索相关文章:九年级上册数学期中试题及答案解析