∵∠A=∠C,
∴∠AOB=∠COD,
∴AB=CD.
点评: 此题主要考查了圆周角定理和等弧对等弦,以及全等三角形的判定和性质.
23.(10分)(2006•上海)已知:如图,在△ABC中,AD是边BC上的高,E为边AC的中点,BC=14,AD=12,sinB= .
求:(1)线段DC的长;
(2)tan∠EDC的值.
考点: 解直角三角形;直角三角形斜边上的中线..
专题: 计算题.
分析: (1)在Rt△ABD中,根据已知条件求出边AB的长,再由BC的长,可以求出CD的长;
(2)根据直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半,求出∠C=∠EDC,从而求出∠C的正切值即求出了tan∠EDC的值.
解答: 解:(1)∵AD是BC边上的高,△ABD和△ACD是Rt△,
在Rt△ABD中,
∵sinB= ,AD=12,
∴ ,
∴AB=15,
∴BD= ,
又∵BC=14,
∴CD=5;
(2)在Rt△ACD中,
∵E为斜边AC的中点,
∴ED=EC= AC,
∴∠C=∠EDC,
∴tan∠EDC=tanC= .
点评: 此题要灵活应用三角函数公式和解直角三角形的公式,同时还要掌握“直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半“等知识点.
24.(10分)国家为了加强对房地产市场的宏观调控,抑制房价的过快上涨,规定购买新房满5年后才可上市转卖,对二手房买卖征收差价的x%的附加税.某城市在不征收附加税时,每年可成交10万套二手房;征收附加税后,每年减少0.1x万套二手房交易.现已知每套二手房买卖的平均差价为10万元.如果要使每年征收的附加税金为16亿元,并且要使二手房市场保持一定的活力,每年二手房交易量不低于6万套.问:二手房交易附加税的税率应确定为多少?
考点: 一元二次方程的应用..
分析: 国家征收的附加税金总额=二手房的销售额(即单价×销售量)×征收的税率.以此可得出方程,然后根据“不低于6万套”舍去不合题意的解.
解答: 解:设税率应确定为x%,
根据题意得10(10﹣0.1x)•x%=16,
x2﹣100x+1600=0,
解得x1=80,x2=20,
当x2=80时,10﹣0.1×80=2<6,不符合题意,舍去,
x1=20时,100﹣0.1×20=8>6,
答:税率应确定为20%.
点评: 此题考查了一元二次方程的应用,此题不仅是一道实际问题,而且结合了现在房价问题,是一个比较典型的题目.
25.(10分)(2011•宁波)如图,在▱ABCD中,E、F分别为边AB、CD的中点,BD是对角线,过点A作AG∥DB交CB的延长线于点G.
(1)求证:DE∥BF;
(2)若∠G=90°,求证:四边形DEBF是菱形.
考点: 菱形的判定;平行四边形的性质..
专题: 证明题;压轴题.
分析: (1)根据已知条件证明BE=DF,BE∥DF,从而得出四边形DFBE是平行四边形,即可证明DE∥BF,
(2)先证明DE=BE,再根据邻边相等的平行四边形是菱形,从而得出结论.
解答: 证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD.
∵点E、F分别是AB、CD的中点,
∴BE= AB,DF= CD.
∴BE=DF,BE∥DF,
∴四边形DFBE是平行四边形,
∴DE∥BF;
(2)∵∠G=90°,AG∥BD,AD∥BG,
∴四边形AGBD是矩形,
∴∠ADB=90°,
在Rt△ADB中
∵E为AB的中点,
∴DE=BE,
∵四边形DFBE是平行四边形,
∴四边形DEBF是菱形.
点评: 本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定,直角三角形的性质:在直角三角形中斜边中线等于斜边一半,比较综合,难度适中.
26.(10分)如图,已知斜坡AB长60米,坡角(即∠BAC)为30°,BC⊥AC,现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体(用阴影表示)修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE.(下面两小题的结果都精确到0.1米,参考数据: ≈1.732)
(1)若修建的斜坡BE的坡度为1:0.8,则平台DE的长为 14.0 米;
(2)斜坡前的池塘内有一座建筑物GH,小明在平台E处测得建筑物顶部H的仰角(即∠HEM)为30°,测得建筑物顶部H在池塘中倒影H′的俯角为45°(即∠H′EM),测得点B、C、A、G、H、H′在同一个平面内,点C、A、G在同一条直线上,且HG⊥CG,求建筑物GH的高和AG的长.
考点: 解直角三角形的应用-坡度坡角问题;解直角三角形的应用-仰角俯角问题..
分析: (1)由三角函数的定义,即可求得DF与BF的长,又由坡度的定义,即可求得EF的长,继而求得平台DE的长;
(2)首先设GH=x米,由三角函数的定义,即可求得GH的长,继而求得答案.
解答: 解:(1)∵FM∥CG,
∴∠BDF=∠BAC=30°,
∵斜坡AB长60米,D是AB的中点,
∴BD=30米,
∴DF=BD•cos∠BDF=30× =15 ≈25.98(米),BF=BD•sin∠BDF=30× =15(米),
∵斜坡BE的坡度为1:0.8,
∴ = ,
解得:EF=12(米),
∴DE=DF﹣EF=25.98﹣12≈14.0(米);
故答案为:14.0;
(2)设GH=x米,
则MH=GH﹣GM=x﹣15(米),GH′=GH=x米,MH′=GH′+GM=x+15(米),
在Rt△EMH中,tan30°= = ,
在Rt△EMH′中,tan45°= =1,
∴ = ,
即 = ,
解得:x=56.0,
即GH=56.0米,
∵∠BEF=∠DEH′=45°,
∴EF=BF=15(米),
∴EM=MH′=x+15=71.0(米),
∴FM=EF+EM=15+71.0=86.0(米),
∴CG=FM=86.0米,
∵AC=AB•cos30°=60× =30 ≈52.0(米),
∴AG=CG﹣AC=86.0﹣52.0=34.0(米).
答:建筑物GH的高为56.0米,AG的长约为34.0米.
点评: 此题考查了坡度坡角问题以及俯角仰角的定义.此题难度较大,注意根据题意构造直角三角形,并解直角三角形;注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.
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